Za začetek si oglej zanimiv posnetek!
Ali te je posnetek navdušil? Bi rad še kaj izvedel?
Vzemi si čas in si preberi naslednje...
1. Opazovalni sistemi
Narava ni spremenila svojega prostora s koordinatnim sistemom. Vsako določanje koordinatnega sistema je povsem umetno. Različni opazovalci lahko izberejo koordinatne sisteme na povsem različne načine in tako dobijo tudi drugačne rezultate pri meritvah. Torej je potrebano poiskati povezavo med enimi in drugimi sistemi, kar pa vodi naravnost v posebno teorijo relativnosti.
Predstavljajmo si dva opazovalca O in O', ki živita v dvodimenzionalnem prostoru-času. Opazovalec O naj uporablja koordinatni sistem (t,x), opazovalec O' pa (t',x'). Poiskati moramo povezavo med koordinatnima sistemoma (t,x) in (t',x'). Poglavitna težava izhaja iz dejstva, da je videti, kot bi se sistema med seboj premikala. Če hočemo poiskati povezavo med dvema koordinatnima sistemoma, mora biti najprej vsak opazovalec v svojem koordinatnem sistemu sposoben meriti količine, da jih lahko kasneje primerja z opazovalcem v drugem koordinatnem sistemu. Meritev nikakor ne moremo izvajati v absolutnem sistemu, ne moremo določiti absolutne lege telesa, prav tako pa tudi ne moremo določiti absolutnega gibanja. Potemtakem moramo določati lego in hitrost gibanja telesa relativno glede na nek koordinatni sistem, ki si ga moramo individualno izbrati.
Opazovalec, ki opazuje gibanje ladje, si bo izbral tak koordinatni sistem S, da bo koordinatno izhodišče ležalo na pomolu in bo mirovalo. Ponavadi usmeri opazovalec eno od osi v smer gibanja ladje. Potnik na ladji pa vpelje svoj koordinatni sistem S' tako, da bo njegovo koordinatno izhodišče mirovalo glede na ladjo, svojo x' os pa naj pokrije z osjo x koordinatnega sistema S.
Že na začetku se omejimo na inercialne sisteme, to je takšne sisteme, ki niso pospešeni. Inercialnost koordinatnega sistema lahko ugotovimo s pomočjo uteži, ki jo obesimo na vrvico. Če utež visi navpično navzdol, je sistem inercialen, če se od navpične lege odmakne, pa ni inercialen.
Galilejevo načelo: za opazovalca v kateremkoli inercialnem opazovalnem sistemu veljajo enaki zakoni mehanike.
Z enakimi zakoni seveda ne mislimo, da v vsakem inercialnem koordinatnem sistemu količine zavzemajo enake vrednosti. Hočemo le reči, da imajo zakoni enako obliko, z besedami jih povemo na enak način.
Predstavljajmo si dva opazovalca O in O', ki živita v dvodimenzionalnem prostoru-času. Opazovalec O naj uporablja koordinatni sistem (t,x), opazovalec O' pa (t',x'). Poiskati moramo povezavo med koordinatnima sistemoma (t,x) in (t',x'). Poglavitna težava izhaja iz dejstva, da je videti, kot bi se sistema med seboj premikala. Če hočemo poiskati povezavo med dvema koordinatnima sistemoma, mora biti najprej vsak opazovalec v svojem koordinatnem sistemu sposoben meriti količine, da jih lahko kasneje primerja z opazovalcem v drugem koordinatnem sistemu. Meritev nikakor ne moremo izvajati v absolutnem sistemu, ne moremo določiti absolutne lege telesa, prav tako pa tudi ne moremo določiti absolutnega gibanja. Potemtakem moramo določati lego in hitrost gibanja telesa relativno glede na nek koordinatni sistem, ki si ga moramo individualno izbrati.
Opazovalec, ki opazuje gibanje ladje, si bo izbral tak koordinatni sistem S, da bo koordinatno izhodišče ležalo na pomolu in bo mirovalo. Ponavadi usmeri opazovalec eno od osi v smer gibanja ladje. Potnik na ladji pa vpelje svoj koordinatni sistem S' tako, da bo njegovo koordinatno izhodišče mirovalo glede na ladjo, svojo x' os pa naj pokrije z osjo x koordinatnega sistema S.
Že na začetku se omejimo na inercialne sisteme, to je takšne sisteme, ki niso pospešeni. Inercialnost koordinatnega sistema lahko ugotovimo s pomočjo uteži, ki jo obesimo na vrvico. Če utež visi navpično navzdol, je sistem inercialen, če se od navpične lege odmakne, pa ni inercialen.
Galilejevo načelo: za opazovalca v kateremkoli inercialnem opazovalnem sistemu veljajo enaki zakoni mehanike.
Z enakimi zakoni seveda ne mislimo, da v vsakem inercialnem koordinatnem sistemu količine zavzemajo enake vrednosti. Hočemo le reči, da imajo zakoni enako obliko, z besedami jih povemo na enak način.
1.1 Galilejeva transformacija
Naj bosta S in S' dva inercialna sistema. Z Galilejevo transformacijo bomo poskušali povezati količine v inercialnem sistemu S z ustreznimi količinami v sistemu S'. Najprej poglejmo transformacijo časa.
Zamislimo si naslednji poskus: imamo dva potnika, enega na ladji, drugega na pomolu. Tisti na ladji naj meri čas z ladijsko uro, drugi, ki je na pomolu, pa s pristaniško uro. Uri seveda tečeta enako, če nista pokvarjeni, pa čeprav sta na različnih krajih. Ob določenem trenutku morata potnika sinhronizirati svoji uri. To naredita na primer tako, da v trenutku, ko gre ladijski kljun mimo pomola, naravnata svoji uri , tako da je t = t' = 0.
Enak postopek lahko potnika izvedeta tudi v vsakem drugem trenutku. Vselej pa je t = t' oziroma kvečjemu t = t' + t0 , če nista oba potnika v danem trenutku postavila ure na t = t' = 0. Torej bi bilo dovolj, če bi imela oba potnika skupaj eno uro, ki bi kazala absoluten čas. Podatke o legi kazalcev na uri posreduje potnikoma svetloba, katere hitrost je neprimerljivo večja od hitrosti ladje, torej se zamik zaradi potovanja svetlobe praktično ne pozna pri meritvah. Ta sklep seveda preneha veljati, če se sistema medsebojno gibljeta s hitrostjo, ki ni zanemarljivo majhna v primerjavi s svetlobno hitrostjo. Naj bodo koordinatne osi sistemov S in S' postavljene tako, da bodo x in x', y in y' ter z in z' vzporedne, sistema pa naj se relativno gibljeta med seboj vzdolž osi x s hitrostjo v0. Za čas v sistemih S in S' naj velja t' = t + t0.
Tedaj v poljubnem trenutku veljajo naslednje zveze med koordinatami v sistemu S in sistemu S':
X' = x – v0t – x0
Y' = y- y0
Z' = z – z0
Izrek: Naj bosta S in S' dva inercialana opazovalna sistema, ki se relativno drug na drugega gibljeta s hitrostjo v0 vzdolž osi x. Naj bosta (t,x,y,z) in (t',x',y',z') pripadajoča koordinatna sistema. Potem veljajo naslednje zveze med koordinatami poljubnih dogodkov v teh dveh sistemih:
t' = t + t0.
X' = x – v0t – x0
Y' = y- y0
Z' = z – z0,
kjer so t0, x0, y0 in z0 konstante določene z izbiro koordinatnih sistemov.
Lega koordinatnih osi opayovalnih sistemov S in S’ v trenutku t. Iz slike ni težko razbrati Galilejeve transformacije.
S pomočjo Galilejeve transforamcije lahko pridemo tudi do transformacije za ostale osnovne količine mehanike: hotrost, gobalno količino, silo in pospešek.
Naj bosta S in S’ dva inercialna Galilejeva prostor-časa in naj bo A neko telo v prostoru. Če se sistema med seboj relativno gibljeta s hitrostjo v in telo A potuje s hitrostjo v’ glede na S’ v isti smeri, potem potuje telo A s hitrostjo v’ + v glede na sistem S.
Ker A potuje s hitrostjo v' relativno glede na S', tir telesa A zadošča enačbi x = v't' + x'0. Uporabimo še Galilejevo transformacijo, ki pravi
x' = x – vt- x0
T'= t + t0.
In dobimo željeni rezultat
x - vt –x0 = v'(t+t0) + x0
X = t(v' +v) + (x'0 - x0 + v't0).
Primer:
Naj se vlak giblje s hitrostjo 60 km/h glede na okolico, na vlaku pa naj proti lokomotivi teče otrok s hitrostjo 12 km/h. Na travniku ob želežniški progi stoji Matej. S kolikšno hitrostjo se otrok na vlaku giblje glede na Mateja? S kolikšno hitrostjo pa se giblje otrok glede na Mateja, če teče proti repu vlaka in ne proti lokomotivi?
Ko teče otrok proti lokomotivi, se hitrosti seštejeta, torej se otrok gliblje glede na Mateja s hitrostjo 60 km/h + 12 km/h = 72 km/h. V drugem primeru, ko otrok na vlaku teče proti repu vlaka, se hitrosti odštejeta, ker ima vektor hitrosti gibanja otroka glede na vlak drugačno smer kot vektor hitrosti gibanja vlaka glede na travnik. Torej se otrok na vlaku giblje relativno glade na Mateja s hitrostjo 60 km/h – 12 km/h = 48 km/h.
Zamislimo si naslednji poskus: imamo dva potnika, enega na ladji, drugega na pomolu. Tisti na ladji naj meri čas z ladijsko uro, drugi, ki je na pomolu, pa s pristaniško uro. Uri seveda tečeta enako, če nista pokvarjeni, pa čeprav sta na različnih krajih. Ob določenem trenutku morata potnika sinhronizirati svoji uri. To naredita na primer tako, da v trenutku, ko gre ladijski kljun mimo pomola, naravnata svoji uri , tako da je t = t' = 0.
Enak postopek lahko potnika izvedeta tudi v vsakem drugem trenutku. Vselej pa je t = t' oziroma kvečjemu t = t' + t0 , če nista oba potnika v danem trenutku postavila ure na t = t' = 0. Torej bi bilo dovolj, če bi imela oba potnika skupaj eno uro, ki bi kazala absoluten čas. Podatke o legi kazalcev na uri posreduje potnikoma svetloba, katere hitrost je neprimerljivo večja od hitrosti ladje, torej se zamik zaradi potovanja svetlobe praktično ne pozna pri meritvah. Ta sklep seveda preneha veljati, če se sistema medsebojno gibljeta s hitrostjo, ki ni zanemarljivo majhna v primerjavi s svetlobno hitrostjo. Naj bodo koordinatne osi sistemov S in S' postavljene tako, da bodo x in x', y in y' ter z in z' vzporedne, sistema pa naj se relativno gibljeta med seboj vzdolž osi x s hitrostjo v0. Za čas v sistemih S in S' naj velja t' = t + t0.
Tedaj v poljubnem trenutku veljajo naslednje zveze med koordinatami v sistemu S in sistemu S':
X' = x – v0t – x0
Y' = y- y0
Z' = z – z0
Izrek: Naj bosta S in S' dva inercialana opazovalna sistema, ki se relativno drug na drugega gibljeta s hitrostjo v0 vzdolž osi x. Naj bosta (t,x,y,z) in (t',x',y',z') pripadajoča koordinatna sistema. Potem veljajo naslednje zveze med koordinatami poljubnih dogodkov v teh dveh sistemih:
t' = t + t0.
X' = x – v0t – x0
Y' = y- y0
Z' = z – z0,
kjer so t0, x0, y0 in z0 konstante določene z izbiro koordinatnih sistemov.
Lega koordinatnih osi opayovalnih sistemov S in S’ v trenutku t. Iz slike ni težko razbrati Galilejeve transformacije.
S pomočjo Galilejeve transforamcije lahko pridemo tudi do transformacije za ostale osnovne količine mehanike: hotrost, gobalno količino, silo in pospešek.
Naj bosta S in S’ dva inercialna Galilejeva prostor-časa in naj bo A neko telo v prostoru. Če se sistema med seboj relativno gibljeta s hitrostjo v in telo A potuje s hitrostjo v’ glede na S’ v isti smeri, potem potuje telo A s hitrostjo v’ + v glede na sistem S.
Ker A potuje s hitrostjo v' relativno glede na S', tir telesa A zadošča enačbi x = v't' + x'0. Uporabimo še Galilejevo transformacijo, ki pravi
x' = x – vt- x0
T'= t + t0.
In dobimo željeni rezultat
x - vt –x0 = v'(t+t0) + x0
X = t(v' +v) + (x'0 - x0 + v't0).
Primer:
Naj se vlak giblje s hitrostjo 60 km/h glede na okolico, na vlaku pa naj proti lokomotivi teče otrok s hitrostjo 12 km/h. Na travniku ob želežniški progi stoji Matej. S kolikšno hitrostjo se otrok na vlaku giblje glede na Mateja? S kolikšno hitrostjo pa se giblje otrok glede na Mateja, če teče proti repu vlaka in ne proti lokomotivi?
Ko teče otrok proti lokomotivi, se hitrosti seštejeta, torej se otrok gliblje glede na Mateja s hitrostjo 60 km/h + 12 km/h = 72 km/h. V drugem primeru, ko otrok na vlaku teče proti repu vlaka, se hitrosti odštejeta, ker ima vektor hitrosti gibanja otroka glede na vlak drugačno smer kot vektor hitrosti gibanja vlaka glede na travnik. Torej se otrok na vlaku giblje relativno glade na Mateja s hitrostjo 60 km/h – 12 km/h = 48 km/h.
1.2 Galilejeva transformacija odpove
Mnogo let je preteklo preden so znasteveniki ugotovili, da preprosto ne živimo v Galilejevem prostoru-času. Najpomembnješi način preverjanja veljavnosti nekega zakona je bilo v tedanjem času eksperimentalno preverjanje v laboratoriju. Tu pa so lahko opazovali telesa, ki so bila sorazmerno velika in ki so imela majhno hitrost v primerjavi s svetlobno hitrostjo. Tako Galilejeve transformacije niso povzročale problemov. Konec 19. stoletja so znanstveniki izmerili svetlobno hitrost v različnih okoliščinah in vselej dobili enak rezultat. Ugotovili so, da je svetlobna hitrost zgornja meja hitrosti, ki jo lahko neko telo doseže, kar pa ni bilo v skladu z Galilejevimi transformacijami. Zaradi tega je bilo potrebno poiskati nove transformacije, ki bi povezovale sistema S in S'.
1.3 Michelson-Morleyev eksperiment
V 19. stoletju so verjeli, da obstaja neka snov v vesolju, po katerem se širijo valovanja svetlobe. Trdili so namreč, da vsako fizikalno valovanje se širi po neki snovi. Snov, po katerem se širijo svetlobna elektromagnetna valovanja so imenovali Eter, nevidna snovi, ki se nahaja povsod v vesolju in je negibna. Obstoj te snovi pa ni bil dokazan. Poskusila sta ga potrditi znanstvenika Michelson in Morley s posebno napravo, ki sta jo imenovla interferometer. Delaoval bi na principu interference oziroma če dva monokromatska istofaznana žarka opravita različno pot in sta vsmerjena na isti zaslon, se bo na tem prikazala interferenca. Zgradila sta najprej osnovno napravo, ki je bila sicer precizna a ni botrovala željenih rezultatov. Pozneje sta zgradila večjo in še bolj precizno napravo, a spet poskus jima ni vspel.
Veliko napako, ki sta jo opravila, je, da sta za svetlobo vporabljala adicijski izrek. Seštevala sta namreč hitrost svetlobe c s hitrostjo Zemlje v. Danes pa vemo po zaslugi Einsteina da ima svetloba konstantno hitrost c oziroma 300 000 km/h.
2. Posebna teorija relativnosti
2.1 Einsteinovi predpostavki
Leta 1905 je Einstein dokazal, da je mogoče odpraviti vsa navidezna protislovja med dianamiko mehanskih sistemov in dinamiko elektromagnetnih sistemov s teorijo, ki je osnaovana na dveh samih predpostavkah:
1.Vsi fizikalni zakoni so v vseh inercialnih opazovalnih sistemih enaki.
Posledica: ne da se ugotoviti stanje gibanja našega opazovalnega sistema s fizikalnimi poskusi.
2. Hitrost svetlobe ( v vakumu= praznem prostoru) je enaka za vsakega opazovalca v inercialnem opazovalnem sistemu in ni odvisna od relativnega gibanja svetlobnega izvira glede na opazovalca.
Svetlobna hitrost je konstantna ne glede na medsebojno gibanje izora in opazovalca.
Teorija, ki je osnovana na teh dveh postulatih in ki velja za vse nepospešene sisteme, se imenuje posebna teorija relativnosti.
Res je nekaj izrednega, da je tako pomembna teorija, ki je v temljih spremenila tradicionalne predstave v zvezi s prostorom in časom in ki je tako bistveno učinkovala na razlago atomskih, jedrskih astrofizikalnih pojavov, lahko osnovana na dveh samih enostavnih predpostavkah, kot sta Einsteinovi. Če je cilj fizikalne teorije, da oblikuje zakone narave z jedrnatimi in maloštevilnimi predpostavkami, potem je teorija relativnosti v tem obziru zagotovo vzorna.
Na osnovi teh dveh einsteinovih predpostavkah relativnosti ni težko razviti enačb, ki povezujejo krajevne koordinate s časom v devh opazovalnih sistemih, ki se gibljeta enakomerno drug proti drugemu. Te enačbe so podobne enačbam Galilejeve transformacije x’ = x – vt in t’ = t, vsebujejo pa bistvene razlike, ko je hitrost relativnega gibanja primerljiva s hitrostjo svetlobe. Te transformacijske enačbe je prvi izpeljal Lorentz, kot posledice Michelson-Morleyevega eksperimenta, in jih zato imenujemo enačbe Lorentzove transformacije. Če se opazovalna sistema gibljeta drug proti drugemu vzdolž vstreznih osi x, so krajevne koordinate in čas v teh devh opazovalnih sistemih z enačbami:
x'=(x-vt)/√(1- β^2)
y'=y
z'=z
t'=(t-(β/c) x)/√(1- β^2)
Pri uporabi teh enačb velja dogovor, da razpolaga opazovalec v sistemu K s togim metrskim merilom, s katerim meri razdalje x, y in z, in z uro, s katero meri čas t. Opazovalec v sistemu K' razpolaga za ustrezne meritve v svojem opazovalnem sistemu s podobnimi merilnimi napravami in jih uravna z napravami opazovalca v K, ko oba sistema mirujeta drug glede nadrugega. Zato je mogoče sočasno umeriti uri, tako da je za oba sistema t = t' = 0 v trenutku, ko pri relativnem gibanju izhodišči sistemov sovpadata.
Enačbe pomenijo naslednje: ko opazovalec v K zazna, da je neki dogodek nastal v tocki x, y, z in v trenutku t, zazna opazovalec v K' v svojem opazovalnem sistemu isti dogodek v tocki x', y', z' in v trenuktu t'.
Lahko opazimo, da prečni krajevni koordinati y in z, ki sta pravokotni na smer relativnega gibanja, nista odvisni od gibanja in imata enako vrednost v obeh sistemih. Če je relativna hitrost v majhna glede na c in je zato β ≈ 0, je imenovalec √(1- β^2) prakticno ena in člen (β/c)x postane tako majhen, da ga lahko zanemarino. Ko je torej v « c, ne moremo razločiti Lorentzovih enačb od Galilejevih. Ker se v naši vsakdanji izkušnji redko srečujemo s hitrostmi, ki jih lahko primerjamo s svetlobno hitrostjo, je naš svet bistveno Newtonov svet in v njem ni neposredno opaznih relativističnih učinkov. Pomembni posledici Lorentzovih enačb sta krčenje dolžin in daljšanje časa.
1.Vsi fizikalni zakoni so v vseh inercialnih opazovalnih sistemih enaki.
Posledica: ne da se ugotoviti stanje gibanja našega opazovalnega sistema s fizikalnimi poskusi.
2. Hitrost svetlobe ( v vakumu= praznem prostoru) je enaka za vsakega opazovalca v inercialnem opazovalnem sistemu in ni odvisna od relativnega gibanja svetlobnega izvira glede na opazovalca.
Svetlobna hitrost je konstantna ne glede na medsebojno gibanje izora in opazovalca.
Teorija, ki je osnovana na teh dveh postulatih in ki velja za vse nepospešene sisteme, se imenuje posebna teorija relativnosti.
Res je nekaj izrednega, da je tako pomembna teorija, ki je v temljih spremenila tradicionalne predstave v zvezi s prostorom in časom in ki je tako bistveno učinkovala na razlago atomskih, jedrskih astrofizikalnih pojavov, lahko osnovana na dveh samih enostavnih predpostavkah, kot sta Einsteinovi. Če je cilj fizikalne teorije, da oblikuje zakone narave z jedrnatimi in maloštevilnimi predpostavkami, potem je teorija relativnosti v tem obziru zagotovo vzorna.
Na osnovi teh dveh einsteinovih predpostavkah relativnosti ni težko razviti enačb, ki povezujejo krajevne koordinate s časom v devh opazovalnih sistemih, ki se gibljeta enakomerno drug proti drugemu. Te enačbe so podobne enačbam Galilejeve transformacije x’ = x – vt in t’ = t, vsebujejo pa bistvene razlike, ko je hitrost relativnega gibanja primerljiva s hitrostjo svetlobe. Te transformacijske enačbe je prvi izpeljal Lorentz, kot posledice Michelson-Morleyevega eksperimenta, in jih zato imenujemo enačbe Lorentzove transformacije. Če se opazovalna sistema gibljeta drug proti drugemu vzdolž vstreznih osi x, so krajevne koordinate in čas v teh devh opazovalnih sistemih z enačbami:
x'=(x-vt)/√(1- β^2)
y'=y
z'=z
t'=(t-(β/c) x)/√(1- β^2)
Pri uporabi teh enačb velja dogovor, da razpolaga opazovalec v sistemu K s togim metrskim merilom, s katerim meri razdalje x, y in z, in z uro, s katero meri čas t. Opazovalec v sistemu K' razpolaga za ustrezne meritve v svojem opazovalnem sistemu s podobnimi merilnimi napravami in jih uravna z napravami opazovalca v K, ko oba sistema mirujeta drug glede nadrugega. Zato je mogoče sočasno umeriti uri, tako da je za oba sistema t = t' = 0 v trenutku, ko pri relativnem gibanju izhodišči sistemov sovpadata.
Enačbe pomenijo naslednje: ko opazovalec v K zazna, da je neki dogodek nastal v tocki x, y, z in v trenutku t, zazna opazovalec v K' v svojem opazovalnem sistemu isti dogodek v tocki x', y', z' in v trenuktu t'.
Lahko opazimo, da prečni krajevni koordinati y in z, ki sta pravokotni na smer relativnega gibanja, nista odvisni od gibanja in imata enako vrednost v obeh sistemih. Če je relativna hitrost v majhna glede na c in je zato β ≈ 0, je imenovalec √(1- β^2) prakticno ena in člen (β/c)x postane tako majhen, da ga lahko zanemarino. Ko je torej v « c, ne moremo razločiti Lorentzovih enačb od Galilejevih. Ker se v naši vsakdanji izkušnji redko srečujemo s hitrostmi, ki jih lahko primerjamo s svetlobno hitrostjo, je naš svet bistveno Newtonov svet in v njem ni neposredno opaznih relativističnih učinkov. Pomembni posledici Lorentzovih enačb sta krčenje dolžin in daljšanje časa.
2.2 Lorentzovo krčenje dolžin
Naj bo palica z dolžino l postavljena vzdolž osi x s krajiščem v izhodišču sistema K. Kolikšno dolžino bo tej palici izmeril opazovalec v sistemu K'?
Lorentz je preko čiste matematične formule izpeljel enačbo, ki opisuje kako se dolžina gibajočega telesa v smeri gibanja krajša.
Zapisal je l' = l√(1- β^2) , kjer je l dolžina telesa v mirujočem stanju, l' pa v gibajočem, β pa velja v/c, kjer je v hitrost telesa in je c konstanta insicer hitrost svetlobe.
Iz tega seldi, da glede na palico gibajoči se opazovalec nameri manjšo oz. skrčeno dolžino palice v primerjavi s tisto, ki jo določi mirujoči opazovalec. Razmere so glede na gibajoča se opazovalna sistema simetrične.
Skrčenje dolžine gibajoče se palice je resnični učinek, ker oba opazovalca uporabljata enaki togi metrski merili, ki sta ju uravnala, ko sta mirovala in dejansko izmerita palici različni dolžini.
Primer:
Opazovalec, ki potuje na vlaku gre mimo postaje, ki meri 100 metrov, s hitrostjo, ki je polovica svetlobne.
Kolikšno dolžino bo izmeril poostaji?
l' = l√(1- β^2)
= (100 m) x √(1-(0,5)^2)
= (100 m) x √0,75
= 86,6 m
Opazovlaec na vlaku vidi postajo dolgo 86,6 metrov, za opazovalca na postaji pa ostaja dolžina postaje vedno 100 metrov. Opazovalec na postaji pa vidi vlak, ki je za opazovalca na vlaku dolg 100 metrov, dolg 86,6 metrov.
Lorentz je preko čiste matematične formule izpeljel enačbo, ki opisuje kako se dolžina gibajočega telesa v smeri gibanja krajša.
Zapisal je l' = l√(1- β^2) , kjer je l dolžina telesa v mirujočem stanju, l' pa v gibajočem, β pa velja v/c, kjer je v hitrost telesa in je c konstanta insicer hitrost svetlobe.
Iz tega seldi, da glede na palico gibajoči se opazovalec nameri manjšo oz. skrčeno dolžino palice v primerjavi s tisto, ki jo določi mirujoči opazovalec. Razmere so glede na gibajoča se opazovalna sistema simetrične.
Skrčenje dolžine gibajoče se palice je resnični učinek, ker oba opazovalca uporabljata enaki togi metrski merili, ki sta ju uravnala, ko sta mirovala in dejansko izmerita palici različni dolžini.
Primer:
Opazovalec, ki potuje na vlaku gre mimo postaje, ki meri 100 metrov, s hitrostjo, ki je polovica svetlobne.
Kolikšno dolžino bo izmeril poostaji?
l' = l√(1- β^2)
= (100 m) x √(1-(0,5)^2)
= (100 m) x √0,75
= 86,6 m
Opazovlaec na vlaku vidi postajo dolgo 86,6 metrov, za opazovalca na postaji pa ostaja dolžina postaje vedno 100 metrov. Opazovalec na postaji pa vidi vlak, ki je za opazovalca na vlaku dolg 100 metrov, dolg 86,6 metrov.
2.3 Daljšanje časa
Druga pomembna Lorentzova izpeljava je seveda daljšanje časa. Prišel je do naslednje enačbe:
t' = t/√(1- β^2)
Osnovni časovni razmik t' ure v K', ki ga zabeleži opazovalec v K, je daljši od osnovnega časovnega razmika v K. Zato opazovalec v K ugotovi, da gre ura K' počasneje od njegove. In seveda, če opazovalec v K' opazuje uro v K, sklepa, da gre ura v K počasnje. Lahko torej zatrdimo, da vsak opazovalec ugotoavlja, da gre gibajoča se ura počasneje od enake ure, ki miruje v njegovem opazovalnem sistemu.
t' = t/√(1- β^2)
Osnovni časovni razmik t' ure v K', ki ga zabeleži opazovalec v K, je daljši od osnovnega časovnega razmika v K. Zato opazovalec v K ugotovi, da gre ura K' počasneje od njegove. In seveda, če opazovalec v K' opazuje uro v K, sklepa, da gre ura v K počasnje. Lahko torej zatrdimo, da vsak opazovalec ugotoavlja, da gre gibajoča se ura počasneje od enake ure, ki miruje v njegovem opazovalnem sistemu.
2.4 Paradoks dvojčkov
Eden od rezultatov teorije relativnosti, o katerem so veliko razpravljali, in ga napačno razumeli, je tako imenovani paradoks dvojčkov.
Albert in Robert sta dvojčka in Robert je astronavt. Robert odpotuje na vesoljski polet do zvezde, ki je oddaljena 10 svetlobnih let, Albert pa ostane na zemlji. Če Robertova vesoljska ladja potuje glede na Zemljo s hitrostjo 0,99 c, traja za Alberta polet Δt = 10 sv.l./0,99c = 10 let
Enak čas je potreben za povratek. Robert se torej vrne na Zemljo, ko je Albert 20 let starejši, kot je bil ob Robertovem odhodu. Na Robertovi vesoljski ladji pa se zdi, da se Zemlja in zvezde glede na Roberta gibljejo s hitrostjo 0,99 c. Zato je razdalja Zemlja zvezda skrčena na
l' = ( 10 sv.l.) x √(1-(0,99)^2)
= 1,4 sv.l.
Po Robertovi uri traja potovanje samo 1,4 leta in se torej vrne na Zemljo 2,8 let starejši. Ko se Robert spet sreča z bratom, odkrije, da je njegov dvojček starejši od njega za 17, 2 let.
On pa ve, da so vsa gibanja relativna. Za Roberta, ki opazuje polet iz svojega sistema, opravi potovanje s povratkom Albert ( in Zemlja). Zato bi morala Albertova ura iti počasneje od Robertove in bi torej Robert moral ob povratku Alberta (in Zemlje) ugotoviti, da je njegov dvojček mlajši od njega. Od tod paradoks.
Paradoks sloni na dejstvu, da se opiramo na simetričnost razmer: ne bi smelo biti važno, kateri dvojček gre na potovanje, kateri pa ostane doma. Vendarle je to pomembno, ker je Albert (dvojček, ki ostane doma) vedno v inercialnem opazovalnem sistemu, medtem ko je bil Robert izpostavljen pospeškom. Ko je zapustil Zemljo je pospešil do 0,99 c. Pospešil je, ko je zavil okoli zvezde, in spet pospešil, ko se je vrnil na Zemljo in na njej pristal. Za Alberta in Roberta razmere torej niso simetrične. Ker niamamo vedno opravka samo z inercialnimi opazovalnimi sistemi, je treba razmere pazljivo preučiti.
Pravilen račun dejansko kaže, da se Robert stara počasneje kot njegov dvojček.
Zaradi pojava podaljšanja časa si lahko zamislimo možnost vznemirljivega potovanja do oddaljenih zvezd. Če je hitrost potovanja dovolj blizu hitrosti svetlobe, potnik z lahkoto pepotuje velike vesoljske razdalje v času, ki je v primerjavi z njegovim življenjem kratek. Vrnil pa bi se na drugačno Zemljo, ki je doživela razvoj več sto ali več tisoč let. Ta fantastična zamisel pa se srečuje z neko težavo: ne moremo si sploh predstavljati, kako bi proizvedli dovolj energije za pospešitev vesoljske ladje do hitrosti blizu c.
Paradoks dvojčkov je resničen pojav: dvojček, ki potuje, se stara počasneje od brata, ki je vezan na Zemljo. Po drugi strani pa bi ptonik ne mogel izkoristiti dolgotrajnosti svojega življenja, ker bi bili vsi njegovi biološki procesi počasnejši glede na hitrost, s katero se razvijajo na Zemlji in bi moral zato delati. Misliti in ukrepati s takim zmanjšanim tempom.
Albert in Robert sta dvojčka in Robert je astronavt. Robert odpotuje na vesoljski polet do zvezde, ki je oddaljena 10 svetlobnih let, Albert pa ostane na zemlji. Če Robertova vesoljska ladja potuje glede na Zemljo s hitrostjo 0,99 c, traja za Alberta polet Δt = 10 sv.l./0,99c = 10 let
Enak čas je potreben za povratek. Robert se torej vrne na Zemljo, ko je Albert 20 let starejši, kot je bil ob Robertovem odhodu. Na Robertovi vesoljski ladji pa se zdi, da se Zemlja in zvezde glede na Roberta gibljejo s hitrostjo 0,99 c. Zato je razdalja Zemlja zvezda skrčena na
l' = ( 10 sv.l.) x √(1-(0,99)^2)
= 1,4 sv.l.
Po Robertovi uri traja potovanje samo 1,4 leta in se torej vrne na Zemljo 2,8 let starejši. Ko se Robert spet sreča z bratom, odkrije, da je njegov dvojček starejši od njega za 17, 2 let.
On pa ve, da so vsa gibanja relativna. Za Roberta, ki opazuje polet iz svojega sistema, opravi potovanje s povratkom Albert ( in Zemlja). Zato bi morala Albertova ura iti počasneje od Robertove in bi torej Robert moral ob povratku Alberta (in Zemlje) ugotoviti, da je njegov dvojček mlajši od njega. Od tod paradoks.
Paradoks sloni na dejstvu, da se opiramo na simetričnost razmer: ne bi smelo biti važno, kateri dvojček gre na potovanje, kateri pa ostane doma. Vendarle je to pomembno, ker je Albert (dvojček, ki ostane doma) vedno v inercialnem opazovalnem sistemu, medtem ko je bil Robert izpostavljen pospeškom. Ko je zapustil Zemljo je pospešil do 0,99 c. Pospešil je, ko je zavil okoli zvezde, in spet pospešil, ko se je vrnil na Zemljo in na njej pristal. Za Alberta in Roberta razmere torej niso simetrične. Ker niamamo vedno opravka samo z inercialnimi opazovalnimi sistemi, je treba razmere pazljivo preučiti.
Pravilen račun dejansko kaže, da se Robert stara počasneje kot njegov dvojček.
Zaradi pojava podaljšanja časa si lahko zamislimo možnost vznemirljivega potovanja do oddaljenih zvezd. Če je hitrost potovanja dovolj blizu hitrosti svetlobe, potnik z lahkoto pepotuje velike vesoljske razdalje v času, ki je v primerjavi z njegovim življenjem kratek. Vrnil pa bi se na drugačno Zemljo, ki je doživela razvoj več sto ali več tisoč let. Ta fantastična zamisel pa se srečuje z neko težavo: ne moremo si sploh predstavljati, kako bi proizvedli dovolj energije za pospešitev vesoljske ladje do hitrosti blizu c.
Paradoks dvojčkov je resničen pojav: dvojček, ki potuje, se stara počasneje od brata, ki je vezan na Zemljo. Po drugi strani pa bi ptonik ne mogel izkoristiti dolgotrajnosti svojega življenja, ker bi bili vsi njegovi biološki procesi počasnejši glede na hitrost, s katero se razvijajo na Zemlji in bi moral zato delati. Misliti in ukrepati s takim zmanjšanim tempom.